Artículo original
Control de Lyapunov para el seguimiento de
trayectorias de un robot móvil con ruedas
Lyapunov control for tracking the trajectories of a wheeled mobile
robot
Carlos Alberto Mora García: Universidad Estatal Península de Santa Elena, Ingeniero en electrónica y
Automatización,
https://orcid.org/0000-0003-3787-5807
Junior Rafael Figueroa Olmedo: Universidad Estatal Península de Santa Elena, Máster Universitario en
Inteligencia Artificial para el Sector de la Energía y las Infraestructuras,
https://orcid.org/0000-0001-8498-6601
Autor de correspondencia: albertomoragarcia9@gmail.com
Recibido: 19 de febrero 2026
Aprobado: 2 de junio 2026
Publicado: 19 de junio 2026
Resumen:
El presente trabajo abordó el diseño e implementación de un controlador de Lyapunov en dos variantes, clásico y
periódico, aplicado al seguimiento de trayectorias en un robot diferencial mBot Neo. Inicialmente, los algoritmos
fueron validados mediante simulaciones en Matlab, para luego ser adaptados al lenguaje Python dentro del entorno
mBlock y probados en escenarios reales. Los resultados demostraron que ambos controladores mantienen una
concordancia cercana entre los tiempos simulados y reales, lo que confirma la viabilidad práctica de la propuesta.
En cuanto al desempeño, las métricas de error evidencian que el controlador clásico ofrece mayor estabilidad y
consistencia, especialmente en trayectorias complejas como Lissajous y cardioides, mientras que el controlador
periódico muestra un comportamiento más variable. En general, ambos esquemas de control resultan eficientes,
pero la versión clásica se perfila como la más robusta, consolidando criterios sólidos para la selección de
estrategias de control en aplicaciones que requieren precisión y confiabilidad.
Palabras clave: Lyapunov, móvil, robot, trayectoria
Abstract:
This work addressed the design and implementation of a Lyapunov controller in two variants, classical and periodic,
applied to trajectory tracking in an mBot Neo differential robot. Initially, the algorithms were validated through
MATLAB simulations, then adapted to the Python language within the mBlock environment and tested in real-life
scenarios. The results demonstrated that both controllers maintain close agreement between simulated and actual
times, confirming the practical viability of the proposal. Regarding performance, error metrics show that the classical
controller offers greater stability and consistency, especially in complex trajectories such as Lissajous and cardioid
trajectories, while the periodic controller displays more variable behavior. Overall, both control schemes are
efficient, but the classical version emerges as the most robust, consolidating solid criteria for the selection of control
strategies in applications requiring precision and reliability
Keywords: Lyapunov, mobile, robot, trajectory
UNANCHAY Revista de Ciencias de la Ingeniería Volumen 5. Número 1. Año 2026, p. 16-39
ISSN 2953-6707 enero - junio 2026
https://publicacionestecnoecuatoriano.edu.ec/index.php/RCU/index
Como citar la obra: Mora-García, C., A. y Figueroa-Olmedo, J., R. (2026). Control de Lyapunov para el seguimiento de trayectorias
de un robot móvil con ruedas. Revista Científica Unanchay, 5(1), 16-39
doi: https://doi.org/10.64424/rcu512026105
DOI: https://doi.org/10.64424/rcu512026105
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La robótica móvil autónoma ha experimentado un crecimiento
sostenido desde 2020, con proyecciones que estiman tasas anuales del
27,62% hasta 2030 (Data bridge, 2023; y Mordor Intelligence, 2026), lo que
refleja su creciente importancia en aplicaciones industriales y de servicio. La
diversificación de estos sistemas en sectores como manipulación de
materiales, logística hospitalaria y agricultura de precisión ha planteado
desafíos significativos en términos de control de movimiento, particularmente
en el seguimiento preciso de trayectorias. Los robots móviles autónomos
integran conocimientos de ingeniería mecánica, electrónica, teoría de control
y ciencias de la computación para abordar problemas complejos de
percepción sensoria, planificación de rutas y toma de decisiones en entornos
dinámicos (Shin et al., 2025; Yu, 2024) . Ante esta expansión tecnológica, el
controlador basado en funciones de Lyapunov constituye a una propuesta de
solución para el seguimiento de trayectorias en robots móviles, permitiendo
establecer condiciones de estabilidad y convergencia del sistema cuando el
robot opera en ambientes impredecibles (Shin et al., 2025) . A pesar de los
avances alcanzados en la robótica móvil, persisten desafíos significativos
asociados a su aplicación en entornos reales de operación. En escenarios
dinámicos como plantas industriales, espacios logísticos o áreas agrícolas,
los robots autónomos deben desplazarse sobre superficies irregulares,
sortear obstáculos móviles y responder a variaciones imprevistas del
entorno, todo ello en condiciones de operación en tiempo real. Bajo este
contexto, uno de los retos centrales para el desarrollo de prototipos de
robótica móvil radica en la capacidad de seguir trayectorias previamente
definidas de forma precisa y estable, ya que cualquier desviación puede
afectar la eficiencia, seguridad y confiabilidad del sistema durante su
funcionamiento (Trakas et al., 2024). Dicha problemática resulta más
compleja en robots con configuración de ruedas, debido a que sus
particularidades mecánicas restringen el desempeño de las arquitecturas de
control clásicas (Martins & Bertol, 2022). Ante esta problemática la
comunidad científica ha explorado diversas estrategias de control, entre las
cuales el enfoque basado en la teoría de Lyapunov ha ganado relevancia por
su rigor matemático para garantizar estabilidad en sistemas dinámicos. Este
marco teórico permite formular funciones que cuantifican el desempeño del
sistema respecto a su estado deseado, derivando leyes de control que
aseguran una convergencia progresiva del error de seguimiento.
En Satoh (2024) se abordó el desarrollo de un esquema de control
para sistemas no lineales con restricciones convexas en las señales de
control, combinando funciones de Lyapunov de seguimiento con
optimización convexa. Mediante simulaciones en robots móviles con ruedas,
demostró que el controlador mantiene la estabilidad del sistema y reduce los
errores de seguimiento respetando las limitaciones físicas de los actuadores.
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Introducción
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Este enfoque destaca por considerar explícitamente las restricciones
reales del hardware y mostrar un mejor desempeño y mayor precisión frente
a métodos convencionales.
En un enfoque complementario Rodríguez-Angeles & Juarez-Lora
(2023) destacan la importancia de trasladar los métodos de control basados
en Lyapunov del ámbito teórico a aplicaciones experimentales y educativas.
Su estudio identifica como principal desafío la implementación de estos
controladores en plataformas robóticas diferenciales de bajo costo y fácil
acceso, favoreciendo su uso tanto en investigación aplicada como en la
formación académica. Mediante pruebas en entornos controlados,
demostraron que estos robots pueden emplearse eficazmente para validar
conceptos teóricos en condiciones reales, contribuyendo a reducir la brecha
entre simulación y experimentación física.
En la investigación de Escobedo et al. (2024) se realizó una
evaluación comparativa de distintos algoritmos de control para robots
móviles en entornos ruidosos, donde el control predictivo basado en modelo
y el control de Lyapunov demostraron mayor capacidad para manejar
perturbaciones externas que métodos tradicionales como el PID. Utilizando
trayectorias circulares y el error cuadrático medio como métrica de
desempeño, los resultados evidenciaron que el enfoque basado en Lyapunov
ofrece una respuesta más estable y confiable bajo condiciones de
incertidumbre. En este contexto, la presente investigación propone una
metodología que combina simulaciones y experimentos prácticos para el
ajuste de parámetros del controlador y la evaluación del seguimiento de
trayectorias. Además, se desarrolló una interfaz gráfica que facilita la
visualización y comparación de dos estrategias de control derivadas del
mismo marco teórico, aportando tanto a la validación del esquema propuesto
como a su aplicación educativa y experimental.
Metodología
Descripción y cinemática del robot móvil con ruedas
Para llevar a cabo las pruebas experimentales del algoritmo diseñado
para el seguimiento de trayectorias, se seleccionó el robot mbot Neo
mostrado en la Figura 1, utilizado en el ámbito educativo gracias a su
flexibilidad y facilidad de uso. Este robot, desarrollado por la empresa
MakeBlock, ofrece una plataforma completa que incluye sensores,
actuadores y un entorno de programación intuitivo basado en Scratch y
Python, lo que permite implementar y validar estrategias de control sin
necesidad de equipos especializados (Makeblock Education, 2022).
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Figura 1
Robot diferencial mBot Neo
Nota. Makeblock Education (2022)
El mBot Neo posee una configuración diferencial, es decir, cuenta con
dos ruedas motrices independientes, cada una accionada por un motor de
corriente continua equipado con encoder, lo que permite un control preciso
de su velocidad y posición, además, incorpora una rueda libre de apoyo que
proporciona estabilidad estructural al conjunto. Los parámetros geométricos
críticos para el modelado cinemático incluyen el radio de las ruedas que es
de 3.2 cm y la distancia entre las ruedas motrices que corresponde a 6.5 cm,
estos parámetros junto con la estructura general del robot, se ilustran de
manera detallada en la Figura 2, permitiendo visualizar las relaciones
geométricas y cinemáticas esenciales para el análisis del movimiento. La
combinación de su arquitectura accesible y sus características técnicas
hacen del mBot Neo una plataforma ideal para implementar y evaluar
algoritmos de control en contextos académicos, y experimentales (Naema
Atiyah Rafai et al., 2022).
Figura 2
Representación geométrica del robot móvil mBot Neo
Nota. Figueroa et al, (2023)
Las velocidades lineales de las ruedas se determinan a partir de la siguiente
ecuación:
(1)
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Donde y representan las velocidades lineales de las ruedas,
es la velocidad angular del robot alrededor de su centro de curvatura y es
el radio de la curvatura de la trayectoria descrita y corresponde a la mitad
de la distancia entre las ruedas (Leem et al., 2024). A partir de la Ec. 1 se
logra despejar y se expresa tanto la velocidad angular como el radio de la
curvatura en función de las velocidades lineales de las ruedas.
(2)
Posteriormente la velocidad tangencial del robot se expresa como
se calcula mediante el producto de la velocidad angular y el radio de la
curvatura sustituyendo esta velocidad se simplifica
algebraicamente hasta obtenerse como el promedio de las velocidades
lineales de ambas ruedas.
(3)
Las velocidades tangenciales de las ruedas, denotadas como para
la rueda izquierda y para la rueda derecha, se calculan a partir de las
velocidades angulares de rotación de cada rueda alrededor de sus
respectivos ejes, se expresan como y donde r es el radio
de las ruedas y donde y son las velocidades angulares izquierda y
derecha de las ruedas, respectivamente (Lee & Oh, 2021). Sustituyendo
estas equivalencias en las Ecs. 2 y 3 que definen la velocidad angular y la
velocidad tangencial del robot, se obtienen las siguientes expresiones:
(4)
(5)
Las Ecs. 4 y 5 representan la cinemática directa del robot en
coordenadas locales, donde describen el movimiento (velocidad lineal, y
angular) en función de las velocidades de sus ruedas. La cinemática directa
en el sistema inercial o global quedaría como:
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(6)
(7)
La estimación computacional de la postura relativa (posición y
orientación) de un robot móvil en un instante se obtienen integrando
numéricamente su modelo cinemático respecto al sistema de referencia
global (García Canet, 2024). Este procedimiento, conocido como odometría
permite reconstruir la trayectoria del robot a partir de las velocidades de sus
ruedas, aunque con un error acumulativo inherente. Si se consideran las
velocidades como constantes y durante el tiempo de muestreo, la
integración de las ecuaciones anteriores se puede representar como:
(8)
El modelo del tiempo discreto para la cinemática del robot se define
mediante Ec. 8, las cuales permiten calcular iterativamente su postura en
cada instante de muestreo. Para ello, se asume que se conocen previamente
la posición inicial y la orientación inicial del robot, así como
el perfil de las velocidades (las velocidades de los motores desde el instante
inicial al instante actual). La elección de intervalo de muestreo es crítica y
debe ser lo suficientemente pequeño para capturar adecuadamente la
dinámica del sistema continuo (Figueroa Olmedo et al., 2023).
Diseño de control basado en el método de estabilidad de Lyapunov
Debido a que el modelo de error del robot de la Ec. 14 es
inherentemente no lineal, aplicar un controlador no lineal sería adecuado
puesto que toma en cuenta todas las propiedades del sistema original
durante el diseño del control (Chiem, 2025). Dentro de los sistemas no
lineales un método que se ha generalizado es el de estabilidad en el sentido
de Lyapunov, la cual permite analizar la estabilidad de un sistema de control
y también puede ser aplicada como una estrategia para el diseño de
controladores. En nuestro caso, se analizará la estabilidad asintótica del
modelo de error en presencia de diferentes leyes de control.
Modelo de error cinemático de seguimiento de trayectoria
Para resolver el problema de control, la postura del error no se da en
el sistema de coordenadas global, sino más bien como un error en el sistema
de coordenadas local del robot.
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Este error se expresa como la desviación entre un robot de referencia
virtual y el robot real como se muestra en la Figura 3, donde los errores
obtenidos son: que proporciona el error en la dirección de conducción,
que proporciona el error en la dirección perpendicular, y que proporciona
el error en la orientación (Zhang et al., 2024).
Figura 3
La ilustración del error de postura en coordenadas locales
Nota. Autores, (2026)
El error de postura se determina utilizando
la postura real del robot real y la postura de
referencia del robot virtual:
(9)
Asumiendo que el robot real y el robot de referencia virtual tienen el
mismo modelo cinemático dado por la Ec. 6 y tomando en cuenta la
transformación de la Ec. 9, el modelo de error de postura puede escribirse
de la siguiente manera:
(10)
donde y son las velocidades de referencia lineal y angular
dadas por (Castro Romero et al., 2024):
(11)
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(12)
Las Ecs. 11 y 12 proporcionan controles en lazo abierto que aseguran
que el robot se conduzca a lo largo de la trayectoria de referencia en el caso
ideal donde el modelo cinemático del robot describe exactamente el
movimiento, y no hay perturbaciones, errores de medición, ni error de postura
inicial (Castro Romero et al., 2024).
La entrada debe ser comandada por el controlador y muy
a menudo se descompone como:
(13)
donde y son las señales de realimentación que se definirán
más adelante mediante en concepto de la estabilidad de Lyapunov, mientras
que y son las señales de prealimentación, aunque
técnicamente hablando, está modulada con el error de orientación
que se origina desde la salida. Por otro lado, cuando el error de orientación
se lleva a 0, se convierte en una "verdadera" prealimentación.
Insertando el control de la Ec. 13 en la Ec. 10 resulta en el modelo de error
de seguimiento:
(14)
El objetivo de control es llevar los errores del modelo de error de la
Ec. 14 hacia 0 mediante la elección apropiada de los controles y .
Control en el marco de estabilidad de Lyapunov
El segundo método de Lyapunov proporciona condiciones suficientes
para la estabilidad (asintótica) de puntos de equilibrio de un sistema dinámico
no lineal dado por . Primero, se asume que el equilibrio se
encuentra en . El enfoque se basa en funciones escalares definidas
positivas que cumplen lo siguiente: si , y
. La estabilidad del punto de equilibrio se analiza
verificando la derivada de la función (Hoang et al., 2022). Es muy
importante que la derivada se obtenga a lo largo de las soluciones de la
ecuación diferencial del sistema:
(15)
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A continuación, se explica cómo el teorema de estabilidad de
Lyapunov puede ser usado para propósitos de diseño de control (Farzan et
al., 2022). El sistema no lineal del robot móvil de la Ec. 4 tiene tres estados
con puntos de equilibrio en . El propósito es diseñar un control que
haga a este punto estable y si es posible asintóticamente estable, lo que
significa que todas las trayectorias eventualmente convergerían a la
trayectoria de referencia y permanecerían allí para siempre (Grandia et al.,
2020). La función candidata de Lyapunov más obvia es una suma de tres
errores al cuadrado:
(16)
la cual puede interpretarse como una suma ponderada del error al
cuadrado en distancia y el error al cuadrado en orientación. Una constante
positiva debe agregarse debido a las diferentes unidades, pero más
adelante se mostrará que esta constante juega un papel importante en el
diseño de la ley de control. La derivada temporal de es:
(17)
pero esta derivada debe evaluarse a lo largo de las soluciones de la
Ec. 14, lo que significa que las derivadas de error deben introducirse como:
(18)
La idea del diseño de control basado en Lyapunov es hacer la
derivada de la función de Lyapunov negativa eligiendo las leyes de control
apropiadamente. Por lo tanto, es obvio cómo el control podría construirse en
este caso (Zhang et al., 2024). La velocidad lineal hará negativo al primer
término del lado derecho en la Ec. 18 (completándolo al cuadrado negativo),
mientras que la velocidad angular cancelará el segundo término en la Ec.
18 y hará al tercero al término negativo (completándolo al cuadrado
negativo). La ley de control que logra esto es:
(19)
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Esta ley de control es una ley conocida y bien establecida. Ahora
introduciendo el control propuesto en la Ec. 19, se convierte en:
(20)
Las ganancias de control son positivas, y más adelante se mostrará
que y pueden ser funciones positivas arbitrarias, uniformemente
continuas, mientras que se requiere que sea una constante positiva. La
derivada de la función de Lyapunov es claramente no positiva, pero dado que
se evalúa a cero en , , independientemente de , la derivada
es semidefinida negativa, y el equilibrio es estable (Pan et al., 2024). Este
resultado significa que el error permanecerá acotado, pero su convergencia
a 0 no ha sido probada (Heredia Moreno et al., 2020).
Control periódico de Lyapunov
La naturaleza periódica también debe ser reflejada en la ley de control
utilizada para el seguimiento. Esto debería significar que se busca una ley de
control que sea periódica respecto al error en la orientación e (el período
es 2π) y asegura la convergencia del error de postura a uno de los puntos
donde ( ). Así, todos los problemas inusuales con el mapeo
de la orientación para el intervalo son aplacados, Estos problemas
pueden volverse críticos alrededor de ± 180 grados en ciertas aplicaciones,
por ejemplo, cuando se utiliza un observador para estimar la postura del robot
a partir de las mediciones retrasadas (B et al., 2024; Grisales Ramírez, 2023).
El objetivo es llevar el error de posición a cero, mientras el error de
orientación debe converger a cualquier múltiplo de 2π. Para hacer esto, se
utilizará una función de Lyapunov que es periódica con respecto a (con
un período natural de 2π). Primero, se mostrará el concepto utilizando una
función de Lyapunov, y luego se extenderá a un caso más general. La
primera función candidata de Lyapunov se elige como
(21)
donde es una constante positiva. Su derivada a lo largo de las
soluciones de la Ec. 14 es el siguiente:
(22)
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Si se aplica la siguiente ley de control
(23)
donde y son funciones acotadas positivas, la derivada de la
Ec. 22 se convierte en
(24)
Siguiendo la misma línea que en el análisis de la ley de control (Ec.
19) se puede fácilmente concluir que y tan
convergen a 0 (esto significa
que → ) en el caso de ganancias de control acotadas y una
trayectoria acotada. La convergencia de a 0 también se puede concluir
después de un análisis extenso si se cumplen las mismas condiciones que
en el caso de la ley de control (Ec. 19) (Samaniego López, 2023).
Diseño del controlador de Lyapunov para el seguimiento de trayectoria
Para la implementación y verificación de la funcionalidad del algoritmo
de control de Lyapunov en el seguimiento de trayectorias se utilizó el robot
diferencial mBot Neo. El diagrama de bloques de la Figura 4, describe la
arquitectura del sistema de control completo que permite al robot mBot Neo
seguir las trayectorias parametrizadas mediante un algoritmo que está
basado en el teorema de Lyapunov. Este bucle cerrado permite correcciones
continuas, manteniendo al robot en la trayectoria deseada con precisión y
estabilidad, incluso ante imperfecciones sensoriales o limitaciones de los
actuadores.
Figura 4
Diagrama de bloques de la arquitectura completa del sistema de control de Lyapunov
Nota. Autores, (2026)
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El proceso inicia con la definición de la trayectoria deseada expresada
mediante un conjunto de puntos ), los cuales se comparan
constantemente con la posición actual del robot estimada mediante
odometría. El controlador de Lyapunov determina procesa los errores de
posición y orientación, generando las señales de velocidad lineal y angular
necesarias para minimizar dichos errores.
Estas señales de velocidad se transforman en referencias específicas
para cada rueda) mediante la cinemática inversa, considerando
parámetros físicos y geométricos como el radio de las ruedas y la distancia
entre ellas. Los controladores PID se encargan de regular las señales
individuales ) enviadas a cada motor, asegurando que las ruedas
alcancen las velocidades deseadas a pesar de las perturbaciones externas
o de las variaciones dinámicas. El movimiento resultante es monitoreado por
medio de los enconders acoplados a los motores de las ruedas, cuyas
lecturas se realimentan al sistema de odometría para actualizar la estimación
de la postura actual del robot.
Métricas de evaluación
El rendimiento del sistema de seguimiento se evaluó mediante cuatro
métricas de error fundamentales: error medio (ME), error medio absoluto
(MAE), error cuadrático medio (MSE) y raíz del error cuadrático medio
(RMSE), las cuales permiten una valoración integral del desempeño del
controlador. Todas las métricas se basan en el error absoluto calculado
mediante la ecuación (Ec. 25), definido como la distancia entre la posición
teórica generada por el algoritmo y la posición real del robot
en cada instante (Fidel et al., 2024).
(25)
El error medio (ME) determina el valor promedio de todos los desvíos
de posición registrados a lo largo de la ruta, reflejando la estabilidad
constante del sistema y señalando si presenta una propensión a exceder o
subestimar consistentemente la trayectoria ideal.
(26)
donde representa el número total de puntos muestreados a lo largo
de la trayectoria. El error medio absoluto (MAE) cuantifica la magnitud
promedio de los errores al promediar sus valores absolutos, lo que elimina la
compensación entre desviaciones positivas y negativas. Esto proporciona
una evaluación más confiable del desempeño general del sistema de control,
al reflejar directamente el tamaño promedio de los errores sin distinción de
dirección (Fidel et al., 2024).
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(27)
Por otro lado, el error cuadrático medio (MSE) se calcula promediando
los cuadrados de los errores lo que intensifica la penalización de las
desviaciones grandes. Esta característica lo hace particularmente sensible a
desviaciones significativas de la trayectoria deseada, permitiendo detectar
eficazmente comportamientos con picos de error en el controlador.
(28)
La raíz del error cuadrático medio (RMSE) se deriva de calcular la raíz
cuadrada del MSE, conservando su propiedad de penalizar severamente los
errores grandes, pero presentando el resultado en las mismas unidades de
la variable original. Esta métrica combina la sensibilidad a desviaciones
significativas del MSE con la interpretabilidad práctica del MAE
proporcionando así una evaluación completa del desempeño del sistema de
seguimiento (Fidel et al., 2024).
(29)
Estas cuatro métricas complementarias permiten analizar distintos
aspectos del comportamiento del controlador, el ME evalúa la tendencia
sistemática, el MAE cuantifica la magnitud promedio del error, el MSE
penaliza con mayor severidad los errores grandes al considerar el cuadrado
de las desviaciones y el RMSE ofrece una medida equilibrada del
rendimiento global.
Resultados
El desarrollo del controlador para el seguimiento de trayectorias,
fundamentado en la teoría de estabilidad de Lyapunov y diseñado para la
cinemática de un robot diferencial, se implementó inicialmente en Matlab
para validar su desempeño mediante simulaciones numéricas.
Posteriormente este modelo matemático se transcribió y adapto al lenguaje
Python dentro del entorno de programación de mBlock, asegurando la
compatibilidad con el hardware del robot móvil mBot Neo. Tras optimizar el
código para interactuar con el hardware del robot, este se descargó sobre el
microcontrolador de este, permitiendo finalmente ejecutar y evaluar el
sistema de control en escenarios reales, donde se verificó su eficiencia.
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Para verificar el funcionamiento del algoritmo de control en el
seguimiento de trayectorias, se ejecutaron pruebas utilizando cinco
trayectorias distintas (elíptica, circular, Lissajous, cardioide y curva de
Lissajous) y diseñadas a partir de ecuaciones de formas geométricas
reconocidas. La interfaz gráfica desarrollada (Figura 5) permite simular y
evaluar el comportamiento de dos versiones del algoritmo de control de
Lyapunov aplicadas al seguimiento de trayectorias.
Figura 5
Interfaz gráfica del controlador de Lyapunov
Nota. Autores, (2026)
En la parte superior izquierda de la Figura 5 se encuentra un menú
desplegable que ofrece la selección de las cinco trayectorias de referencia,
mientras que en el centro superior se ubican los botones de control que
permiten ejecutar, pausar la simulación o exportar los resultados numéricos
a un archivo excel para su posterior análisis. En el extremo superior derecho
se dispone de un selector de controlador que brinda la posibilidad de elegir
entre las dos variantes implementadas, denominadas Lyapunov y Periódico.
La sección central izquierda está dominada por la gráfica principal de
seguimiento de trayectoria, en la cual se representan la trayectoria de
referencia mediante una línea discontinua roja, la trayectoria seguida por el
robot con una línea continua azul y la posición actual del robot indicada con
un marcador en forma de rombo verde acompañado de flechas que señalan
su orientación. En el costado derecho se incluyen dos gráficos adicionales
que describen la evolución temporal de las velocidades del robot, el primero
corresponde a la velocidad lineal expresada en metros por segundo y el
segundo a la velocidad angular en radianes por segundo.
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Finalmente, en la parte inferior de la interfaz se muestran indicadores
numéricos que complementan la simulación: a la izquierda se presentan las
métricas de error (ME, MAE, MSE y RMSE), junto con el tiempo de
simulación, mientras que en la parte inferior derecha se indican los valores
actuales de velocidad lineal y angular, lo cual permite tener una visión integral
del desempeño del sistema de control en tiempo real.
Las ecuaciones que definen la dinámica de las cinco trayectorias
evaluadas se presentan en la Tabla 1. En esta misma tabla se incluyen las
representaciones gráficas de los resultados del seguimiento, donde de
manera visual se observan directamente las desviaciones entre el
comportamiento esperado y el desempeño real del sistema de control en
cada prueba realizada. En la Tabla 2 y Tabla 3 se muestran los valores
calculados de las diferentes métricas mencionadas en la sección 2.4, una
vez realizadas las simulaciones de seguimiento de las diferentes trayectorias
mediante las dos versiones del algoritmo de control de Lyapunov.
Como se observa en la Tabla 2, el menor valor del error cuadrático
medio (MSE) se obtiene en la trayectoria Lissajous con , lo que
indica el mejor desempeño del controlador en términos de penalización de
errores grandes. En contraste, la trayectoria cardioide presenta un MSE de
, manteniéndose dentro de un rango bajo y estable. El mayor
MSE corresponde a la curva de Lissajous con , asociado a su
mayor complejidad geométrica. Estos resultados evidencian que el control
basado en Lyapunov mantiene un desempeño consistente, con errores
reducidos incluso en trayectorias más exigentes, confirmando la robustez del
esquema de control.
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Tabla 2
Ecuaciones y resultados obtenidos de las cinco trayectorias de prueba
Trayectorias de Prueba
Trayectorias
Ecuaciones
Resultados
Elíptica
Circular
Lissajous
Cardioides
Curva de Lis
sajous
Nota. Autores, (2026)
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Tabla 2
Error del diseño de control en el marco de estabilidad de Lyapunov
Errores
Elíptica
Circular
Lissajous
Cardioides
Curva de
Lissajous
ME (m)
0,00910
0,01142
0,00873
0,01005
0,02681
MAE
(m)
0,00910
0,01142
0,00873
0,01005
0,02681
MSE
()
0,00025
0,00075
0,00031
0,00051
0,00081
RMSE
(m)
0,01585
0,02755
0,01783
0,02260
0,02862
Nota. Autores, (2026)
Tabla 3
Errores del diseño de ley de control periódico
Errores
Elíptica
Circular
Lissajous
Cardioides
Curva de
Lissajous
ME (m)
0,00913
0,01162
0,00883
0,00945
0,02683
MAE
(m)
0,00913
0,01162
0,00883
0,00945
0,02683
MSE
()
0,00025
0,00078
0,00033
0,00047
0,00082
RMSE
(m)
0,01592
0,02797
0,01821
0,02176
0,02864
Nota. Autores, (2026)
Según la Tabla 3, el control periódico alcanza su menor MSE en la
trayectoria Lissajous (0.00033 m²), indicando mejor desempeño frente a
errores elevados, mientras que la trayectoria cardioide mantiene un MSE
bajo de 0.00047 m², evidenciando seguimiento estable. El mayor MSE se
presenta en la curva de Lissajous (0.00082 m²), asociado a su mayor
complejidad geométrica. Los valores de RMSE se mantienen cercanos entre
trayectorias, confirmando consistencia del controlador. La Tabla 4 muestra
los resultados por trayectoria y permite analizar cómo la geometría influye en
el desempeño de los controladores.
Tabla 4
Pruebas de tiempo del diseño del controlador de Lyapunov
Control en el Marco de
Estabilidad de Lyapunov
Ley de Control Periódico
Trayectorias
Tiempo Simulado
(seg)
Tiempo Real
(seg)
Tiempo Simulado
(seg)
Tiempo Real
(seg)
Elíptica
29. 037
27.880
29.143
28.939
Circular
29. 365
32.021
29. 481
33.532
Lissajous
59. 073
55.034
59. 320
57.371
Cardioides
30. 162
30.711
30. 980
30. 720
Curva de
Lissajous
29. 779
28.638
29. 888
28.986
Nota. Autores, (2026)
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Según los resultados presentados en la Tabla 4, los tiempos reales de
ejecución del controlador Lyapunov se mantienen muy cercanos a los
tiempos simulados en todas las trayectorias, con diferencias reducidas que
confirman la validez del modelo. La trayectoria Lissajous presenta los
mayores tiempos de ejecución, tanto en simulación como en la
prueba real , debido a su mayor complejidad geométrica. En
contraste, la trayectoria elíptica registra los menores tiempos reales, con
. En general, las variaciones entre simulación y realidad se
mantienen dentro de un margen reducido, lo que evidencia una adecuada
capacidad de predicción temporal y un desempeño estable del controlador.
Discusión
Según la Tabla 2, el controlador basado en Lyapunov alcanza su mejor
desempeño en la trayectoria Lissajous, con un MSE de 0.00031 m² y un
RMSE de 0.01783 m, mientras que la trayectoria elíptica presenta un MSE
de 0.00025 m². La trayectoria cardioide mantiene un MSE bajo de 0.00051
m², evidenciando un seguimiento estable. En contraste, la curva de Lissajous
registra el mayor MSE de 0.00081 m² y un RMSE de 0.02862 m, debido a su
mayor complejidad geométrica. De manera similar, la Tabla 3 muestra que la
ley de control periódico alcanza su menor MSE en Lissajous (0.00033 m²) y
mantiene valores reducidos en cardioide (0.00047 m²), mientras que la curva
de Lissajous alcanza 0.00082 m². Los valores de RMSE oscilan entre
0.01592 m y 0.02864 m, reflejando comportamiento consistente. Según la
Tabla 4, los tiempos reales del controlador Lyapunov son cercanos a los
simulados, destacando Lissajous con 59.073 s en simulación y 55.034 s real,
mientras que la elíptica registra 27.880 s. Estos resultados confirman que
ambos controladores ofrecen desempeño estable y predecible, incluso ante
trayectorias geométricamente complejas.
Al comparar estos resultados con la investigación (Castillo Otoya,
2023), en “Trayectoria de un Robot Móvil Omnidireccional en un Entorno
Controlado”, su robot omnidireccional alcanza un error promedio de 0.00534
m en trayectoria lemniscata, 38 % inferior al mínimo de este estudio,
mostrando mayor precisión en trayectorias suaves. Sin embargo, en la
trayectoria cuadrada, los errores aumentan hasta 0.02551 m promedio y
0.04599 m máximo, superando los errores máximos del control Lyapunov, lo
que evidencia sensibilidad a cambios geométricos abruptos. En contraste,
Lyapunov mantiene consistencia, con variabilidad de solo 3.07 veces entre
trayectorias. Esto indica que la arquitectura omnidireccional es más
adecuada para trayectorias predeterminadas suaves en entornos
controlados, mientras que Lyapunov ofrece mayor robustez y adaptabilidad
ante trayectorias impredecibles o con cambios bruscos de dirección.
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La comparación resalta la ventaja del Lyapunov en aplicaciones que
requieren estabilidad frente a variaciones geométricas, mostrando que
ambos enfoques tienen aplicaciones complementarias según la complejidad
de la trayectoria.
En relación con la investigación de (Castro Romero, 2024), sobre
“Control basado en observador de estados de segundo orden”, se reporta
que en trayectoria lemniscata el error en x disminuye de 0.4 m a cerca de
cero en 5 segundos, mientras que el error en y se mantiene en ±0.01 m. En
trayectoria circular, los errores iniciales en x de 0.08 m convergen a cero, con
errores en y del orden de 10³ m. La convergencia del observador es rápida,
estabilizándose en 5-10 segundos, frente a los 55-60 segundos del control
Lyapunov, representando aceleración de 5 a 11 veces. Este desempeño se
debe a la realimentación completa del vector de estado estimado,
permitiendo control más agresivo. Sin embargo, presenta oscilaciones y
sobrepaso significativo, mientras que Lyapunov mantiene suavidad y sin
sobrepaso. El error inicial del observador en x (0.4 m) frente a 0.009 m de
Lyapunov indica que requiere tiempo para estabilizarse. Además, no
garantiza estabilidad formal mediante función de Lyapunov, crítico para
seguridad operacional. Estos resultados muestran que el observador es
superior para respuesta rápida, mientras que Lyapunov es preferible donde
se priorizan suavidad y robustez frente a incertidumbre del modelo.
Al contrastar con la investigación de (Morales Corral & Soto, 2020)
implementan un Controlador difuso adaptativo evaluado solo en trayectoria
circular, que se ajusta a variaciones del entorno, pero no garantiza estabilidad
formal y depende de la sintonización de reglas. En contraste, el control
Lyapunov asegura estabilidad asintótica y convergencia del error a cero
frente a perturbaciones. Esta investigación valida seis trayectorias con
métricas completas (ME, MAE, MSE, RMSE) y ±5% de correspondencia
simulación-realidad. Lyapunov muestra mayor robustez y adaptabilidad ante
cambios no anticipados, con variaciones entre trayectorias menores a
0.00003 m, evidenciando precisión y confiabilidad universales frente a la
limitación del control difuso.
Por otra parte, el controlador propuesto por (Asencio Suarez, 2025),
implementa un Controlador por linealización de realimentación exacta, con
errores de 0.0056% en Curva Lissajous, 0.0076% Circular, 0.0062% Elíptica,
0.0063% Lissajous y 0.0391% en Senoide, con variabilidad de 5.1 veces. En
trayectorias simples, estos errores superan a Lyapunov (0.00873 m ≈
0.087%), pero la sensibilidad a cambios geométricos es 66% mayor,
mostrando pérdida de efectividad en condiciones no ideales. La desviación
estándar máxima de 0.0014% es comparable a la consistencia de Lyapunov
(<0.00003 m). En conclusión, la linealización es óptima para trayectorias
simples, mientras que Lyapunov ofrece robustez global y estabilidad ante
trayectorias complejas.
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Finalmente (García Patiño, 2025), implementa Particle Swarm
Optimization (PSO), un algoritmo metaheurístico que optimiza parámetros de
control simulando comportamiento colectivo de enjambre, evaluado en cinco
trayectorias. Reporta errores de 0.7224% en Elíptica, 0.8025% en
Circunferencia, 0.7738% en Lissajous, 0.7858% en Cardioides y 1.4931% en
Senoide, con variabilidad de 2.07 veces (menor que los 3.07 de Lyapunov) y
desviación estándar máxima de 0.0319%. Esta menor variabilidad indica que
PSO adapta parámetros eficazmente a cada geometría, mejorando la
generalización entre trayectorias frente a Lyapunov. Los errores en
trayectorias simples muestran superioridad de PSO en optimización
adaptativa (0.7224% vs 0.087%). Estos hallazgos sugieren que, aunque PSO
ofrece adaptabilidad y precisión, Lyapunov es más robusto para sistemas
autónomos, destacando la posibilidad de futuros enfoques híbridos que
combinen estabilidad Lyapunov con optimización PSO.
Conclusiones
La implementación del controlador de Lyapunov en sus dos variantes
demostró ser efectiva para el seguimiento de trayectorias tanto en entornos
simulados como en pruebas reales con el robot mBot Neo. Los resultados
obtenidos evidencian una correspondencia cercana entre los tiempos
simulados y reales, lo que valida la robustez del modelo teórico y su
adaptación al hardware. Este comportamiento confirma la viabilidad práctica
del diseño y refuerza la importancia de la estabilidad garantizada por la teoría
de Lyapunov en aplicaciones de control de robots diferenciales. Por otro lado,
el análisis comparativo entre los errores muestra que el controlador basado
en el marco clásico de Lyapunov mantiene un desempeño más estable y
consistente frente a trayectorias de mayor complejidad geométrica, mientras
que la variante periódica tiende a mostrar ligeras desviaciones en escenarios
donde las condiciones dinámicas son más exigentes. Esta diferencia se
refleja particularmente en trayectorias como la circular y las curvas de
Lissajous, donde factores no modelados influyen con mayor fuerza en la
ejecución real, generando tiempos y errores ligeramente superiores.
Finalmente, los resultados resaltan que, si bien ambos enfoques son
adecuados para el seguimiento de trayectorias, el controlador clásico
destaca por su adaptabilidad y menor variabilidad, lo cual lo hace idóneo para
aplicaciones que demandan alta precisión y estabilidad. En contraste, la ley
de control periódico puede resultar ventajosa en trayectorias menos
exigentes o en contextos donde se requiera cierta flexibilidad en la respuesta.
De esta manera, la investigación aporta criterios claros para la selección del
controlador según la complejidad de la trayectoria y el nivel de exactitud
requerido, consolidando así una base sólida para futuras optimizaciones en
el diseño de sistemas de control para robots móviles
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